Introdução

Nos dias atuais, na engenharia civil, o almejo por redução de custos nas construções envolvendo projetos estruturais está presente na construção civil. Silva (2019) afirma que essa é uma tendência natural em decorrência dos crescentes desafios na elaboração de projetos complexos, necessitando de soluções mais precisas. Nesse contexto da engenharia de estruturas, Silva et al. (2024) apresentaram uma importante contribuição recente no estudo de otimização de vigas de concreto armado, mostrando que o uso dessa ferramenta pode efetivamente reduzir os custos, porém respeitando limites impostos de segurança.

Adicionalmente, a utilização estrutural de elementos de madeiras também vem ganhando destaque, em especial por conta do caráter sustentável desse material, conforme mostrado por Ino e Shimbo (2024). Apesar disso, Pons e Knop (2020) mostram que ainda há uma percepção cultural muito forte de que o aço e o concreto armado ainda são materiais mais resistentes, de modo que muitos projetistas não se sentem plenamente seguros para utilizar madeira em seus projetos estruturais. Nesse âmbito, os autores destacam que a capacitação profissional e o incentivo à pesquisa nessa área podem levar a um aumento da utilização estrutural das madeiras.

Nesse contexto estrutural, Martins (2010) caracteriza a madeira como um material muito versátil, que pode ser usado na aplicação de elementos estruturais de vigas, pilares e treliças, devido à variedade de espécies de madeira existentes, com características de resistência e desempenho singulares. Nesse ínterim, muitos trabalhos recentes têm estudado esse comportamento estrutural das madeiras. Couto et al. (2020), por exemplo, investigaram a relação entre a resistência ao cisalhamento e a resistência à compressão paralela às fibras de madeiras folhosas, por meio da análise de resultados experimentais para um grupo de espécies, obtendo resultados inclusive superiores aos indicados na norma de madeira da época, sugerindo que nesse caso a norma era conservadora.

Mais especificamente, o dimensionamento de vigas de madeira está atrelado a vários parâmetros, tais como a espécie da madeira, umidade do ambiente, classe e valor do carregamento, vão da viga, entre outros. Dentro desse contexto, Scapinello (2021) apresenta e discute resultados experimentais para analisar a estabilidade lateral em vigas de madeira industrializada, do tipo lamelada colada (MLC). De uma maneira geral, o autor validou estatisticamente o comportamento previsto pela norma da época.

De uma maneira geral, o projeto dessas vigas consiste na escolha empírica de uma seção transversal, com consequente verificação de condições de resistência prescritas na norma de projeto, a NBR 7190 (ABNT, 2022). Essa escolha empírica muitas vezes depende de métodos de tentativa e erro, ou seja, a seção é escolhida, e caso não atenda a algumas das verificações, escolhe-se uma nova seção, até que todas as verificações normativas sejam atendidas. Entretanto, observa-se que essa metodologia não se preocupa com parâmetros de tamanho e custo, como, por exemplo, volume da viga.

Adicionalmente, Moraes et al. (2024) desenvolveram uma revisão sistemática da literatura (RSL) sobre a otimização aplicada a estruturas de madeira. Os autores identificaram um crescente interesse na literatura acerca desse tema, e apresentaram resultados de diversas aplicações estruturais (treliças, vigas), e concluíram que a otimização sempre levou a melhorias significativas de performances e economia de materiais. Além disso, Moraes et al. (2024) também identificaram alguns dos principais métodos utilizados nesse contexto de otimização estrutural em madeira, que são algoritmos meta-heurísticos e métodos computacionais avançados, como a programação linear mista inteira não linear (MINLP).

A partir dessa RSL recentemente divulgada e também da análise dos demais trabalhos, foi possível perceber algumas lacunas na literatura. Por exemplo, como a norma de madeira foi recentemente atualizada, em 2022, ainda não há muitos trabalhos que tenham combinado otimização estrutural às novas restrições e prescrições dessa nova versão mais atualizada da normativa brasileira. Nessa nova versão da norma, em comparação à versão anterior, houve algumas mudanças consideráveis na filosofia de cálculo e também nos valores de coeficientes de segurança e de projeto. Além disso, também não há estudos que promovam estudos paramétricos no contexto da otimização, indicando como a variação de parâmetros relevantes no projeto estrutural em madeira (como umidade, espécie, etc.) influenciam no resultado da otimização.

Assim, o presente trabalho visa contribuir com a literatura vigente, preenchendo algumas dessas lacunas identificadas na literatura. No presente estudo, foi feita a combinação entre a aplicação da otimização estrutural determinística e as verificações normativas de segurança no dimensionamento de vigas de madeira, avaliando já com a versão mais atual da norma, a NBR 7190 (ABNT, 2022), a fim de obter uma seção otimizada e segura. A otimização foi aplicada a partir de uma rotina de otimização desenvolvida em python, e foram conduzidos alguns estudos paramétricos, preenchendo mais uma lacuna observada na literatura, a fim de investigar como a variação da umidade do ambiente, do valor do carregamento aplicado, do vão livre que a viga vence e da espécie da madeira utilizada influenciam na obtenção da seção ótima.

Sendo assim, pode-se dizer que os principais objetivos do presente estudo foram atingidos. Com auxílio de um código desenvolvido em python, foi apresentado e discutido um exemplo bem sucedido a aplicação da otimização determinística a estruturas de madeira: o caso do dimensionamento de vigas, de acordo com as prescrições normativas da norma brasileira, a NBR 7190 (ABNT, 2022). Além de a otimização ter sido satisfatoriamente implementada, os estudos paramétricos conduzidos se mostraram bastante relevantes, tendo mostrado que os parâmetros estudados influenciaram consideravelmente nas seções ótimas obtidas.

Referencial teórico

Otimização estrutural

Silva (2019) discute que, de maneira corriqueira, o engenheiro tende a utilizar sua experiência de projeto para fazer o lançamento inicial do dimensionamento de estruturas, e, após isso, apenas realiza ajustes para que as restrições normativas sejam atendidas. Tendo isso em vista, não há garantias que a peça dimensionada tenha a melhor solução estrutural com o menor custo. A partir disso, Silva (2019) mostra que, no âmbito estrutural, para projetar uma estrutura ótima, deve-se utilizar os procedimentos de otimização. A função objetivo é aquela variável que deve ser minimizada, e na área estrutural, essa função geralmente corresponde aos valores de custo, volume ou massa de uma peça. A função pode ser apresentada de forma unidimensional quando a análise se baseia em apenas uma expressão, ou multidimensional quando tem mais de uma única solução. A Figura 1 mostra a diferença entre raízes e pontos ótimos de uma função de única variável, trazendo a lógica da otimização, que diferente das raízes, ela busca pontos de mínimos globais e locais da função objetivo.

A estrutura básica de uma otimização pode ser simplificada através da Equação 1.

Minimize f(x)

Submetido a:

Onde:

f (x) é a função objetivo;

gi (x) são restrições de desigualdades;

hi (x) são restrições de igualdade; e

xi * e xi ** são respectivamente os limites inferiores e superiores das variáveis definidas no projeto.

Na prática de projeto estrutural, essas restrições são as verificações normativas que devem ser atendidas e também as limitações nas dimensões dos elementos estruturais.

Vigas de madeira

Neste tópico, são apresentadas as definições e propriedades da madeira contendo ideias sobre a natureza dos esforços aos quais as vigas de madeira estão submetidas e o dimensionamento de vigas de madeira, destacando as considerações previstas na norma NBR 7190 (ABNT, 2022), que foram selecionadas para os estudos paramétricos.

Madeira e suas propriedades

A madeira é um material encontrado na natureza que possui uma variedade de espécies, cada uma com propriedades específicas, sendo constituída de fibras e utilizada na construção civil. Em conformidade com Ino e Shimbo (2024) considera-se a madeira como um material de manuseio e de abundância na natureza. As propriedades da madeira dependem da estrutura anatômica da espécie, permitindo a variação dos valores atribuídos de compressão e tração, assim como os valores estabelecidos nas direções paralelas e perpendiculares às fibras, presentes na NBR 7190 (ABNT, 2022). Dentre as boas características quanto ao uso da madeira, Ino e Shimbo (2024) destacam: boa trabalhabilidade, considerável relação entre resistência/peso, não sofrer oxidação e poder ser tratada contra deterioração, estética arquitetônica e conforto ambiental, uso racional e manejo florestal. Destacam-se as limitações: variação nas propriedades, anisotropia, variação volumétrica (retração), alteração nas dimensões das peças em função de temperatura e umidade, combustibilidade e deterioração e disponibilidade de formatos. A Figura 2 representa a orientação das fibras dispostas verticalmente (longitudinalmente), tangencialmente ao longo do tronco e no eixo radial.

Madeira enquanto elemento estrutural

De acordo com Pfeil e Pfeil (2021), é possível classificar as madeiras para uso na construção em duas formas: madeiras maciças, incluindo as do tipo bruta, falquejada e serrada, ou madeiras industrializadas, incluindo as do tipo compensada, laminada e recomposta. Para a obtenção dos valores máximos de tensão suportada, realiza-se ensaios com corpos de prova prismáticos sem defeitos, submetendo-os a tensões até que ocorra mudança no comportamento do corpo de prova, como ruptura ou deformação excessiva. A resistência máxima à compressão é alcançada quando o esforço axial é aplicado no sentido paralelo às fibras da madeira. O comportamento mecânico da viga de madeira quando submetida à compressão dependerá da orientação das fibras, conforme mostrado na Figura 3.

Dimensionamento de vigas de madeira

A primeira etapa para projetar uma viga de madeira consiste em decidir o tipo de madeira que será utilizado, retirando-se do Quadro 1 da NBR 7190-1 (ABNT, 2022), os primeiros dados de resistência característicos da espécie, como resistência à compressão, resistência ao cisalhamento, módulo de elasticidade médio e densidade, considerando um teor de umidade de 12%. Após isso, define-se os coeficientes de ponderação e minoração para obter os valores de resistência aos esforços de cálculo. São eles o coeficiente de modificação Kmod, composto pela combinação de dois fatores: Kmod1, que está relacionado à duração do carregamento, e o Kmod2, que considera a umidade do ambiente, sendo ambos encontrados nas Tabelas 4 e 5 da NBR 7190-1 (ABNT, 2022). Com os dados de resistência de cálculo obtidos na norma e com as variáveis de resistência dos materiais, como momento fletor, inércia, deslocamento, entre outros, é necessário realizar as verificações com base nas restrições estabelecidas pela NBR 7190 (ABNT, 2022) a fim de garantir estabilidade na estrutura.

Metodologia

A base para o desenvolvimento do trabalho consiste nas etapas dimensionamento de vigas de madeira de seção retangular, simplesmente apoiadas nas extremidades, submetidas à flexão simples, provocada por carregamento transversal e uniformemente distribuído. O dimensionamento foi feito com base na NBR 7190 (ABNT, 2022), e a otimização determinística foi aplicada para obter a seção ótima, ou seja, as dimensões de base e altura da seção retangular que minimizem o volume da viga de madeira, respeitando as restrições normativas da referida norma de projeto.

Aplicação da otimização

Conceito Geral

A otimização aplicada no dimensionamento foi uma rotina de cálculo em Python, pelo editor de código Spyder, com uso da função minimize, importada da biblioteca otimize, que é uma biblioteca pertencente ao SciPy. Atrelada a essa função, utilizou-se o método SLSQP, que teve melhores resultados como uso de restrições. A função nativa minimize do Python realizou o processo de otimização por meio de dados definidos, variáveis criadas e restrições aplicadas. O processo consistiu na resolução de um problema matemático, com o intuito de obter os valores mínimos possíveis de base (b) e altura (h) da viga de madeira, conforme apresentado na Figura 4, para a obtenção de volume e massa ótimos. O vão da viga é um dado de entrada determinístico e indicado por L.

A otimização busca minimizar a função objetivo escolhida para o estudo que considera o volume da peça segundo a seguinte lógica, fundamentados pelas Equações 2 e 3:

Minimize volume (b, h)

Submetido a:

Onde:

σs_sd é a tensão axial máxima solicitante de projeto, provocada pelo momento fletor atuante, calculada para flexão simples, conforme prescrito no item 6.3.4 da norma NBR 7190 (2022);

σ_Rd é a tensão axial máxima resistente de projeto, obtida a partir da tensão resistente característica, conforme prescrito no item 5.8.3 da norma NBR 7190 (2022);

τ_sd é a tensão de cisalhamento longitudinal solicitante de projeto, provocada pelo esforço cortante atuante, calculada para flexão simples, conforme prescrito no item 6.4.2 da norma NBR 7190 (2022);

τ_Rd é a tensão de cisalhamento longitudinal resistente de projeto obtida a partir da tensão resistente característica, conforme prescrito no item 5.8.3 da norma NBR 7190 (2022);

δ é o deslocamento elástico imediato, calculado via resistência dos materiais clássica, que deve ser menor do que um deslocamento-limite prescrito no item 8.2 da norma NBR 7190 (2022);

σ_cd é a tensão axial de compressão máxima resistente de projeto para estabilidade lateral da viga, obtida conforme prescrito no item 6.5.6 da norma NBR 7190 (2022);

Considerando:

Dados de entrada

Primeiramente, estabeleceu-se um vetor inicial contendo base e altura como ponto de partida para o processamento da rotina e foi verificado que independente da escolha desse ponto inicial, os resultados não mudam. As informações iniciais inseridas na rotina consistem em uma viga biapoiada, com o tamanho do vão (L) e carga distribuída permanente aplicada (q) sobre ela, conforme mostrado na Figura 5.

Organização do código

O código é dividido em três partes, conforme mostrado na Figura 6, que trabalham de maneira conjunta, mas possuem funções diferentes. A primeira parte é o código principal, aonde são inseridos os dados de entrada, a partir das quais são processadas as variáveis necessárias (através das prescrições normativas). Ainda nessa primeira parte, é inicializado o processo de otimização com a definição dos limites inferior e superior das variáveis de projeto e a definição da função objetivo, representada por um vetor de coordenadas b, base, e h, altura, que retorna o volume da peça.

A segunda parte trata das restrições, onde são calculadas as variáveis auxiliares, para as verificações mostradas na Equação 2. Essa segunda parte recebe as variáveis e parâmetros necessários informados e tratados na primeira parte do código, a fim de utilizá-las para fazer as verificações contidas na Equação 2. Durante o processo da otimização, o algoritmo utilizado precisa calcular as restrições várias vezes, por isso optou-se por fazer uma sub-rotina (a parte 2 do código) apenas para efetuar esta avaliação.

Por fim, depois do processamento, uma última parte consiste na verificação do resultado obtido pela otimização. Nessa etapa, são lançados, fazendo-se o caminho inverso: parte-se da seção ótima, e as restrições são verificadas, a fim de se avaliar se de fato foram atendidas. É uma etapa necessária, pois podem ser feitos ajustes nas dimensões, a fim de torná-las mais viáveis de serem executadas. Por exemplo, a otimização retorna valores não inteiros para base e altura de viga, e nessa terceira etapa, esses valores são arredondados para os inteiros mais próximos, para tornar a solução obtida prática.

Restrições

Conforme mostrado na Equação 2, foram realizadas quatro verificações estruturais. A primeira restrição trata do limite de tensão na flexão em torno do eixo x (ver Figura 4), considerando que o plano de ação contém um eixo central de inercia da seção transversal, a partir da equação presente no item 6.3.4 da NBR 7190 (ABNT, 2022), que depende essencialmente do valor do momento fletor solicitante e da geometria (módulo de resistência elástico) da seção transversal. Essa tensão limite provocada pela flexão deve ser menor do que a tensão axial resistente de projeto, cujo valor depende basicamente da espécie de madeira considerada.

A segunda restrição é sobre os limites de tensão de cisalhamento provenientes dos esforços cortantes, calculada de acordo com o item 6.4.2 da NBR 7190 (ABNT, 2022), que depende essencialmente do valor do esforço cortante solicitante e da geometria (área) da seção transversal, e essa tensão limite deve ser menor do que a tensão de cisalhamento de projeto, cujo valor depende basicamente da espécie de madeira considerada.

A terceira restrição considera as classes de deslocamentos estabelecidas pela norma, para efeito de simplificação dos cálculos, consistindo apenas na restrição do deslocamento imediato que a viga pode sofrer. Esse valor de deslocamento imediato e elástico depende essencialmente do valor do momento fletor solicitante e da geometria (momento de inércia) da seção transversal. Com base na Tabela 21, presente no item 8.2 da NBR 7190 (ABNT, 2022), para vigas biapoiadas o valor máximo de deslocamento instantâneo é dado por um percentual do vão do projeto: L/300.

Finalmente, a estabilidade lateral das vigas de madeira é um aspecto crítico no projeto estrutural, pois afeta a capacidade das vigas de suportar cargas sem sofrer deslocamentos laterais excessivos ou perder estabilidade. Tendo em vista isso, a quarta e última restrição aplicada é a verificação dessa estabilidade, elaborado através da equação presente no item 6.5.6 da NBR 7190 (ABNT, 2022), que depende essencialmente da geometria da seção transversal, do comprimento destravado da viga e também do módulo de elasticidade longitudinal efetivo, que está associado a espécie de madeira considerada.

Estudos paramétricos

Conforme mostrado na Figura 6 e pela Equação 3, a otimização foi aplicada com a finalidade de obtenção de volumes mínimos. Contudo, como o trabalho investigou diferentes espécies de madeiras, e cada uma delas tem diferentes valores de massas específicas, optou-se por apresentar os resultados na forma de massa ótima, que consiste basicamente em multiplicar o volume ótimo obtido via otimização pela massa específica da corresponde espécie de madeira estudada.

Nesse sentido, o estudo principal do trabalho investigou a influência de quatro parâmetros na otimização da massa no dimensionamento da viga: classe de umidade do ambiente, que afeta o valor de kmod2, valor do carregamento uniformemente distribuído aplicado à viga (q), comprimento do vão (L) e espécie de madeira (classe de resistência), que impacta nas tensões resistentes. A metodologia adotada variou os valores de cada parâmetro individualmente, mantendo fixos os demais.

Adicionalmente, também foram impostas algumas limitações de dimensões para a estrutura, como a altura da viga, limitada a um metro em todos os casos. Entre as análises individuais, o estudo da influência da classe de umidade foi escolhido por causa da variação de comportamento em diferentes condições de umidade, conforme a Tabela 5 da NBR 7190 (ABNT, 2022). Mantendo-se constantes o vão, a carga distribuída e a classe de resistência, permite-se a variação apenas do fator de segurança (kmod2) baseado na classe de umidade.

Além disso, foram realizadas composições variando mais de um parâmetro simultaneamente. A primeira composição avaliou a influência do carregamento e da espécie na otimização, enquanto a segunda considerou a umidade e a espécie. Dado que a espécie da madeira impacta o dimensionamento em termos de resistência estrutural, custo e disponibilidade, optou-se por estudar esse aspecto em conjunto com a variação da umidade e o aumento de cargas.

A análise paramétrica seguiu a mesma lógica das demais, fixando valores que não poderiam ser alterados e variando apenas os de interesse. Ressalta-se que cada parâmetro foi alterado manualmente no código principal, e a cada mudança, o código foi novamente processado para aplicar a otimização no dimensionamento da viga, permitindo estudar o comportamento da seção transversal e da massa da peça estrutural.

Nas análises paramétricas, é importante ressaltar que cada um dos parâmetros foram sempre sendo alterados manualmente no código principal, e a cada mudança, realizou-se novamente o processamento do código para aplicar a otimização no dimensionamento da viga, de modo que cada resultado apresentado no item seguinte corresponde a um conjunto de várias otimizações aplicadas.

Além dessas variações, foi estudado também um cenário com restrições de altura na viga propostas pela arquitetura. Essas limitações muitas vezes são comuns em projeto, por isso, decidiu-se investigá-las. Levando em consideração, as limitações impostas pela arquitetura no dimensionamento, principalmente no que se refere à altura (h) e base (b) da viga, seja por motivos estéticos ou funcionais, o estudo objetivou analisar como a variação da espécie da madeira pode impactar na otimização da altura da viga. Para isso, três verificações foram feitas considerando os limites de altura de 40, 50 e 60 centímetros.

Resultados e discussões

Influência do comprimento

Como primeiro estudo paramétrico, analisou-se o comportamento da massa ótima em função do comprimento. Para esse parâmetro, foram testadas vigas de três metros e meio de comprimento a seis metros, que são vãos mais comuns. A Figura 7 representa a curva de influência do comprimento. Cada ponto do gráfico da Figura 7 corresponde ao resultado de uma otimização diferente, variando apenas o vão da viga e mantendo demais parâmetros fixos.

Percebe-se um crescimento não linear da massa ótima em relação ao aumento do comprimento, evidenciado quando se dobra o comprimento de três para seis metros, o valor da massa não dobra, ele ultrapassa, chegando a um aumento de aproximadamente 256 kg. Ao avaliar os resultados de seção ótima, ficou evidente que a otimização fixou os valores de base e alterou as alturas da peça, o que fez sentido, pois a elevação da altura aumenta consideravelmente o momento de inércia, que é fundamental na consideração das tensões na flexão e deslocamento máximo, que se comportaram como restrições ativas nessas otimizações.

Influência do carregamento uniformemente distribuído aplicado

No segundo estudo desenvolvido, analisou-se o comportamento da massa ótima em função do aumento de carregamento uniformemente distribuído aplicado. Para este parâmetro, estão representados valores obtidos após a otimização para os carregamentos de 5 kN/m a 25kN/m. A Figura 8 apresenta uma curva, de comportamento linear, ao comparar com o parâmetro anterior, se aproximando mais de uma reta. Cada ponto do gráfico da Figura 8 corresponde ao resultado de uma otimização diferente, variando apenas o carregamento uniformemente distribuído aplicado e mantendo demais parâmetros fixos.

Nota-se que para cada aumento de 5kN/m aplicado sobre o vão da viga, representará um aumento de massa que pode variar entre 150 a 190 kg. Ao avaliar os resultados de seção ótima, ficou evidente que a otimização aumentou as larguras das seções, em função devido de a restrição associada às tensões de cisalhamento ter se comportado como ativa, e com isso foram obtidas seções ótimas cada vez mais quadradas.

Influência da espécie

Na terceira etapa, analisou-se o comportamento da massa ótima em função da variação da espécie de madeira. Ressalta-se que ao variar a espécie da madeira, tem-se variação conjunta de valores de resistência, módulo de elasticidade e massa específica. Foram escolhidas espécies para representar cada uma das diferentes classes de resistência descritas na Tabela A.1 da NBR 7190-3 (ABNT, 2022). A Figura 9 mostra a não-linearidade da curva ao se analisar a influência da espécie da madeira e uma tendência de comportamento muito variado, com pontos de inflexão, a medida em que é decrescente inicialmente e volta a crescer após um determinado ponto. Cada ponto do gráfico da Figura 9 corresponde ao resultado de uma otimização diferente, variando apenas a espécie de madeira e mantendo demais parâmetros fixos.

Devido ao aumento da classe de resistência da madeira, têm-se menores dimensões da peça e volume, mas essa diminuição de volume não está ligada de maneira linear com a massa, que depende da massa específica da espécie, onde o valor da massa específica é fixo de cada espécie e multiplicado pelo valor de volume obtido na otimização. Levando em consideração que a massa específica e a resistência da espécie aumentam à medida que se aumenta a classe de resistência da espécie, há uma tendência de diminuição da massa da peça, obtendo seções mais esbeltas. Porém, é possível verificar graficamente que existe um ponto onde deixa de ser viável esse aumento, tendo em vista que a massa volta a crescer. Em termos de massa e custo, a mudança de uma madeira de classe D20 para uma superior faz sentido devido a uma maior redução de massa. Para mudanças entre espécies D30 D40 e D50 e D60, a taxa de variação da massa é menor. Logo, o impacto da otimização com base na espécie sobre a massa não é considerável.

Influência da umidade

Na quarta etapa, analisou-se o comportamento da massa em função da variação de umidade. A otimização aplicada para esse caso respeita as classes normativas que variam de 1 a 4 e consequentemente a variação do Kmod2. A Figura 10 apresenta a curva de influência da umidade sobre a massa ótima. Cada ponto do gráfico da Figura 10 corresponde ao resultado de uma otimização diferente, variando apenas a umidade do ambiente e mantendo demais parâmetros fixos.

Ao comparar os gráficos dos outros parâmetros, verifica-se que a curva de relação da umidade com a massa é a mais linear. Variar de uma classe de umidade para uma imediatamente superior representa um aumento médio de massa de aproximadamente 38 kg. A mudança de um ambiente com umidade relativa de 65%, Classe 1, para um ambiente com umidades superiores a 85%, Classe 4, representa um aumento da massa da viga em torno de 48%.

Influência de composições

Na quinta etapa, analisou-se o comportamento da massa ótima em função das composições de influência no aumento da massa do carregamento e espécie e em umidade e espécie. Conforme a Tabela A.1 da NBR 7190-3 (ABNT, 2022), existem cinco tipos de espécies quanto a sua classe de resistência, logo, foram criados cinco casos para avaliar cada uma das duas composições. A primeira análise feita aplicou a otimização levando em consideração os parâmetros de carregamento e espécie, restringindo a viga a um comprimento de 6 m e classe 3 de umidade. A Figura 11 mostra a curva de relação de variação da massa, ao aumentar as cargas, entre as cinco espécies estudadas. Cada ponto do gráfico da Figura 11 corresponde ao resultado de uma otimização diferente, variando apenas a espécie da madeira e mantendo demais parâmetros fixos.

As espécies apresentam crescimento de massa quando se aumenta o carregamento, porém, esse crescimento não é linear ao comparar o comportamento entre as curvas. Para carregamentos de aproximadamente 5kN/m, a mudança de espécie não é tão interessante, pois, a massa da peça estrutural é crescente. Quanto à melhor escolha da espécie com base nas cargas e diminuição de massa, é possível afirmar que: Para um carregamento de 10kN/m, a melhor opção é a classe D30, para carregamento de 15kN/m, a melhor opção é a classe D40, para carregamento de 20kN/m, a melhor opção é a classe D50 e para carregamento de 25kN/m, a melhor opção é a classe D50. A segunda análise verifica a otimização levando em consideração os parâmetros de umidade e espécie, considerado o mesmo comprimento 6m e um carregamento fixo com intensidade de 10 kN/m. A Figura 12 ressalta a curva de relação de variação da massa entre espécies, ao sair de uma classe de umidade mais alta para um inferior. Cada ponto do gráfico da Figura 12 corresponde ao resultado de uma otimização diferente, variando apenas o carregamento aplicado e mantendo demais parâmetros fixos.

Foi possível perceber que para uma mesma classe de umidade a variação da massa é baixa, o que não torna interessante a mudança da espécie. A mudança de espécie com a variação de uma umidade mais alta para uma mais baixa, é interessante nas classes de resistência D30 e D40 por apresentarem menores aumentos de massa. A classe D30 apresenta os melhores resultados de otimização na maioria das classes de umidade, tornando, assim, uma boa escolha a ser considerada, a depender da necessidade.

Influência de restrições impostas pela arquitetura

Na sexta e última etapa, analisou-se o comportamento da massa em função da arquitetura. Impondo limites de altura propostos pela arquitetura, são apresentados os resultados das otimizações considerando limites de altura da viga de madeira, aplicando a otimização considerando uma altura limite de 60 cm até uma mais restritiva de 40 cm, considerando uma viga biapoiada com um vão de seis metros, submetida a um carregamento permanente de 10 kN/m e uma classe 4 de umidade. O Quadro 1 mostra as seções e massas obtidas para todas as espécies, verificando quais atendem ou não os limites de altura impostas.

Nos casos em que a otimização retornou pontos viáveis, a coluna “verificação” indica a mensagem “Ok”, enquanto que nos casos em que a otimização não conseguiu encontrar pontos viáveis como soluções ótimas, a coluna “verificação” indicou a mensagem “NA”. Os pontos viáveis são aqueles em que todas as restrições são satisfeitas, ou seja, os pontos ditos inviáveis não estão plenamente de acordo com as verificações normativas, pois alguma (ou algumas) da restrição imposta não foi satisfeita. Assim sendo, percebe-se, ao analisar os resultados do Quadro 1, que a demanda arquitetônica de diminuir a altura não poderia ser atendida para alguns dos casos, dependendo da espécie de madeira. Também é possível perceber o grande aumento de massa provocado para satisfazer essa restrição imposta pelo projeto arquitetônico.

Esse estudo, representado no Quadro 1, é hipotético, mas baseado em demandas reais de projeto, em que os arquitetos precisam propor diminuição das alturas de vigas, especialmente, para viabilizar a execução de forros, ou mesmo como forma de assegurar a redução de pés-direitos.

Entende-se que para uma altura máxima de viga de 60 cm, todas as classes conseguiram ser otimizadas para atender os critérios normativos de dimensionamento. Porém, as classes D20 e D30 não conseguiram ser otimizadas com um limite de altura de 50 centímetros. Além disso, para uma altura máxima de 40 cm, de uma viga submetida às condições citadas, não é possível encontrar, em nenhuma espécie, um dimensionamento ótimo que atenda as restrições de cálculo estrutural. Para todas as classes que não conseguiram ser otimizadas, cabe ao projetista avaliar as condições, seja realizando mudanças no comprimento, umidade e nos esforços, pois esses influenciam no volume da peça, que tem relação direta com as dimensões da seção.

Conclusões

Este trabalho desenvolveu um código em python para implementar a otimização no dimensionamento de vigas de madeira e analisou a influência dos parâmetros naturais, proveniente das características de cada espécie e parâmetros de projeto, baseado na NBR 7190 (2022). Além de a otimização ter sido satisfatoriamente aplicada, os estudos paramétricos conduzidos produziram conclusões de interesse científico:

1. a elação não linear entre o aumento do comprimento e o crescimento da massa apresentou incrementos significativos na massa;

2. a influência do carregamento apresentou um estudo na otimização, aumentando as larguras das seções para suportar as tensões de cisalhamento, resultando em seções quadradas, melhorando a relação entre área, gerando aumentos de massa de até 190 kg;

3. a influência da espécie apresentou um aumento da classe de resistência. As dimensões e o volume da peça diminuem de maneira linear, mas a massa não devido à massa específica da madeira;

4. a mudança de uma classe de umidade mais simples para uma mais agressiva resulta em um incremento de massa de quase 50%; e

5. nas composições, o aumento do carregamento resulta em crescimento de massa para todas as espécies de madeira de forma não linear, não sendo vantajosa a mudança de espécie em carregamentos menores, não apresentando aumento na massa da peça estrutural. De maneira divergente, a variação da umidade não impacta significativamente os incrementos de massa.

Referências

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